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作者: present (情場殺手) 看板: Gossiping
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「數學奧林匹克」大概是坊間補習班騙騙無知家長的名稱

「數學奧林匹亞」是真正的國際競賽
每年一次 今年的比賽在西班牙剛剛舉辦完
一次兩天 每天3道題目4小時30分

今年的題目如下：

49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
MADEID（SPAIN）, JULY 10-22, 2008

Day 1：星期三，2008年7月16日

問題1. 在一銳角三角形ABC中，點H是垂心。以BC的中點為圓心且通
過H的圓交直線BC於A1，A2兩點。類似的，以CA的中點為圓心且通過
H的圓交直線CA於B1，B2兩點；以AB的中點為圓心且通過H的圓交直
線AB於C1，C2兩點。證明：A1，A2，B1，B2，C1，C2六點共圓。

問題2. (a)對所有滿足xyz=1，且皆不等於1的實數x，y，z，證明

x^2 y^2 z^2
--------- + --------- + --------- ≧ 1
(x-1)^2 (y-1)^2 (z-1)^2

(b)證明存在無窮多組滿足xyz=1，且皆不等於1的有理數對x，y，z，
使得上述不等式之等號成立。
__
問題3. 證明存在無窮多個正整數n，使得 n^2 + 1 具有大於 2n +√2n 的質因數。

考試時間：4小時30分 每題7分


49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD
MADEID（SPAIN）, JULY 10-22, 2008

Day 2：星期四，2008年7月17日

問題4. 找出所有滿足以下條件的函數f。f：(0,∞) ─→ (0,∞)（即f為一
從正實數映至正實數的函數），且對所有滿足wx=yz的正實數w，x，y，z，

（f(w)）^2 +（f(x)）^2 x^2 + x^2
----------------------- = ----------- 都成立。
f(y^2) +（f(z^2)） y^2 + z^2

問題5. 設固定的正整數n和k滿足k≧n且k-n為一偶數。給定2n個分別編號為
1,…,2n的燈泡。它們各有「開」與「關」兩種狀態。假設一開始時所有燈泡
皆為「關」的狀態。現在將調整各燈泡的狀態：每次調整只改變某一個燈泡
的狀態（由「開」變成「關」或由「關」變成「開」）。
假設經過k次調整後，編號1,…,n的燈泡皆在「開」的狀態，而編號
n+1,…,2n的燈泡皆在「關」的狀態。令N為所有可以達到上述狀態的調整方
法個數。另記M為所有可以達到上述狀態，但從未調整編號n+1,…,2n的燈泡
的調整方法個數。
試求N/M的比值。

問題6. 設ABCD為一凸四邊形且BA≠BC。令三角形ABC和三角形ADC的內切圓分
別為ω1與ω2。假設有一個圓ω與射線BA相切於點A之後的某點，也與射線BC
相切於點C之後的某點；且圓ω與直線AD與直線CD亦相切。證明：圓ω1和圓ω2
的兩條外公切線相交於圓ω上。

考試時間：4小時30分 每題7分


其中最難的第6題
這次全世界只有13名學生拿到滿分或幾乎滿分，其他選手的得分皆在2分以下。
另外 今年台灣隊的成績是2金4銀

資料來源：數學奧林匹亞2008官方網站 http://www.imo-2008.es/index.html